PRODUCTOS NOTABLES, PARTE 1
¿Qué son los productos notables?
En matemáticas, un producto corresponde al resultado que se obtiene al realizar una multiplicación.
Sabemos que algo es notable cuando nos llama la atención o destaca entre un grupo de cosas.
Entonces, los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso.
Los productos notables que se estudiarán son:
- Binomio al cuadrado o cuadrado perfecto
- Binomio conjugado
1. Cuadrado de la suma de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Representación gráfica del cuadrado de la suma de dos cantidades
El cuadrado de la suma de a y b se representa como un cuadrado compuesto por los cuadrados de a y de b y dos rectángulos cuyos lados son a y b.
Podemos representar gráficamente el cuadrado de la suma de dos cantidades cuando los valores son positivos. Así, la suma de dos cantidades positivas al cuadrado será igual a la suma de:
- un cuadrado con sus lados iguales a la primera cantidad;
- un cuadrado con sus lados iguales a la segunda cantidad, y
- dos rectángulos cuyos lados son iguales a la primera y la segundad cantidad.
Como podemos ver, el cuadrado resultante tendrá un área igual a (a+b) por (a+b)= (a+b)2
Ejemplo con solución paso a paso
Desarrolle (x+10)2.
- Cuadrado del primer término: x2.
- Dos veces el primero por el segundo: 2(x)(10)=20x.
- Cuadrado del segundo término: 102=100.
Respuesta:
2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es positivo:
Regla del cuadrado de la resta de dos cantidades
El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces el primer término por el segundo término, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplos con solución paso a paso
Desarrolle (x-10)2.
- Cuadrado del primer término: x2.
- Menos dos veces el primero por el segundo:- 2(x.10)=-20x.
- Cuadrado del segundo término: 102=100
Respuesta:
3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)
En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;
Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidades
La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
Ejemplos con solución paso a paso
Desarrolle (x+1)(x-1).
- Cuadrado del minuendo: x2.
- Menos el cuadrado del sustraendo: -(12)=-1
Respuesta:
4. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)
Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia:
Regla del caso especial de la multiplicación de trinomios
La multiplicación de dos trinomios con dos términos positivos iguales, y un tercer término cuyo signo difiere en cada trinomio es el cuadrado del primer término, mas dos veces el primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término, menos el cuadrado del tercero.
Ejemplos de multiplicación de trinomios
1) Desarrolle (x+y-2)(x+y+2).
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