FACTORIZACION, PARTE 1

 REFLEXION 



FACTORIZACION 

En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. 

Factorización en números primos

¿En qué casos se usa? Cuando la expresión es numérica, es decir, no tiene variables.

¿Cómo se hace? Utiliza una tabla de números primos para identificar cuáles primos dividen a la expresión original. Un número primo es aquel que es divisible únicamente entre 1 y él mismo. Por ejemplo, el 2 es primo porque solamente se puede dividir entre 1 y 2.

Paso 1. Escribe tu expresión numérica y una línea vertical a su derecha.

envoltorio por la derecha negrita 1540 negrita espacio fin envoltorio negrita espacio

Paso 2. Comienza con el primo más pequeño de la tabla (el 2) ¿este número divide a tu expresión original? Si la respuesta es sí, escríbele del lado derecho de la línea y pon el resultado de la división debajo de la expresión original.

envoltorio por la derecha negrita 1540 negrita espacio fin envoltorio negrita espacio negrita 2 negrita espacio negrita espacio envoltorio por la derecha negrita 770 negrita espacio fin envoltorio

Paso 3. Repite el procedimiento anterior para el resultado de la división. Si el primo que esta evaluando no divide a la expresión, pasa el siguiente primo de la lista.

envoltorio por la derecha negrita 1540 negrita espacio fin envoltorio negrita espacio negrita 2 envoltorio por la derecha negrita espacio negrita espacio negrita 770 negrita espacio fin envoltorio negrita espacio negrita 2 negrita espacio negrita espacio envoltorio por la derecha negrita 385 negrita espacio fin envoltorio

Paso 4. Repite el procedimiento hasta agotar a los posibles primos divisores.

negrita espacio negrita 1540 negrita espacio envoltorio por la izquierda negrita 2 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 770 negrita espacio envoltorio por la izquierda negrita 2 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 385 negrita espacio envoltorio por la izquierda negrita 5 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 77 envoltorio por la izquierda negrita 7 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 11 envoltorio por la izquierda negrita 11 espacio espacio espacio espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita 1

La factorización será el producto de los números que anotaste a la derecha de la línea. En este caso, la factorización de 1540 es:

negrita 1540 negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita 2 elevado a negrita 2 negrita espacio negrita producto asterisco negrita espacio negrita 5 negrita espacio negrita producto asterisco negrita espacio negrita 7 negrita espacio negrita producto asterisco negrita espacio negrita 11

Factor común

¿En qué casos se usa? Usualmente en polinomios de 2 o más términos que comparten al menos una variable o un factor en los coeficientes.

¿Cómo se hace? Primero se determina cuál es el factor común entre los términos, luego se calculan los factores correspondientes y finalmente se reescribe la expresión.

Encontraremos el factor común del siguiente polinomio:

negrita 24 negrita x elevado a negrita 8 negrita y elevado a negrita 3 negrita menos negrita 16 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 7 negrita z elevado a negrita 3

Paso 1. Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.

Paso 2. Conseguimos los factores comunes de las variables. Las variables comunes son x y y. La mayor potencia común de x es x6 y la mayor potencia común de y es y3.

Paso 3. Escribimos el factor común del polinomio como el producto de los pasos 1 y 2 anteriores:

negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3

Ahora podemos pasar a factorizar la expresión original.

Paso 4. Reescribimos cada término del polinomio en función del factor común. Para esto dividimos cada término entre el factor común para obtener un segundo factor.

fracción numerador negrita 24 negrita x elevado a negrita 8 negrita y elevado a negrita 3 entre denominador negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 fin fracción negrita igual negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 fracción numerador negrita 16 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 7 negrita z elevado a negrita 3 entre denominador negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 fin fracción negrita igual negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 3

Paso 5. Sustituimos cada término por el factor común y el segundo factor respectivo.

negrita 24 negrita x elevado a negrita 8 negrita y elevado a negrita 3 negrita igual negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita 16 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 7 negrita z elevado a negrita 3 negrita igual negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho

Nota: 8x6y3(3x2)- 8x6y3(2y4z3) no es la forma factorizada porque aún no están separados los factores.

Paso 6. Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común.

negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho

Paso 7. Revisamos los pasos realizados y reescribimos la expresión factorizada.

negrita 24 negrita x elevado a negrita 8 negrita y elevado a negrita 3 negrita menos negrita 16 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 7 negrita z elevado a negrita 2 negrita igual negrita 8 negrita x elevado a negrita 6 negrita y elevado a negrita 3 negrita. negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita y elevado a negrita 4 negrita z elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho

Factorización binomial de un trinomio cuadrado

¿En qué casos se usa? Cuando tenemos un trinomio cuadrado de la forma x2 ± bx ± c y podemos encontrar factores de c cuya suma es b. Los signos ± indican que pueden ser positivos o negativos.


¿Cómo se hace? Se buscan dos números r y s, tales que x2 ± bx ±c = (x ± r)(x ± s)

Paso 1. Una vez ordenada la expresión se determina el valor de los coeficientes c y b con todo y su signo correspondiente.

negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita espacio negrita 2 negrita x negrita espacio negrita menos negrita espacio negrita 15 negrita b negrita igual negrita 2 negrita espacio negrita coma negrita espacio negrita c negrita espacio negrita igual negrita menos negrita 15

Paso 2. Factorizar c en dos factores (¿Qué parejas de números tienen como producto c?)

En este caso, las parejas que factorizan c = -15 son (-15,1), (15,-1), (-5,3) y (5,-3)

Paso 3. De las parejas anteriores que factorizan c ¿alguna cumple que sumándolas (con su respectivo signo) el resultado sea el valor de b? En caso afirmativo, esos números formaran los factores y serán de la forma (x ± factor1) ((x ± factor2)

Suma de cada pareja:

  • -15 + 1 = -14 ≠ b
  • -1 + 15 = 14 ≠ b
  • -5 + 3 = -2≠ b
  • 5 - 3 = 2 = b que corresponde a la pareja (5,-3)

La expresión factorizada es:

negrita x elevado a negrita 2 negrita espacio fin elevado negrita más negrita 2 negrita x negrita menos negrita 15 negrita espacio negrita igual negrita espacio negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 3 negrita paréntesis derecho


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